mswb041 양자역학과 수소꼴원자

수소꼴 원자

미시적 계의 법칙

거시적 계(Macroscopic system)에서의 입자

뉴턴의 운동법칙을 따름

미시적 계(Microscopic system)에서의 입자

파동과 같은 행동을 보임 (물질파)

뉴턴의 운동법칙을 따르지 않음

고전양자역학 도입

완전하지 않음(일반적이지 못함)

미시적 계에서 입자가 따르는 법칙은 ?
슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식

물질파의 파동방정식

질량 m의 입자가 potential energy V(x,y,z,t)하에서 놓여 있을 때 물질파의 파동함수 Y ( x,y,z,t)가 만족하는 파동방정식

슈뢰딩거에 의해 제시 (1926년)

슈뢰딩거

하이젠베르크는 독일 태생의 물리학자이다. 그는

뮌헨 대학교에서 당시 세계적으로 유명한 이론 물리학

자인 좀머펠드 밑에서 공부하였다. 하이젠베르크는 당

시 젊은이들 중에서 가장 능력 있고 창의력 있는 학생

이었다.

뮌헨에서 공부를 끝낸 하이젠베르크는 괴팅겐

대학의 본과 함께 행렬 역학을 완성하는데 크게 기여하

였다. 그는 3년 동안 괴팅겐 대학교에서 보낸 뒤 덴마크

의 보어 연구소로 합류하였다. 그곳에는 보어와 함께

세계적으로 가장 유수한 젊은이들이 모여 양자역학의

발전에 심혈을 기우리고 있었다.

하이젠베르크는 1934년 노벨 물리학상을 수상 하였다.

당시에 보어 연구소에서 양자역학을 연구하였던 학자

들은 거의 한 사람도 빼놓지 않고 모두 노벨상을 받았

다.

하이젠베르크는 독일에서 가장 뛰어난 물리학자

중 한 사람이었으므로 1942년 베를린의 막스 플

랑크 연구소 소장에 임명되었고 세계 제2차 대전

기간 동안 그곳에서 머물렀다. 독일의 나치가 크

게는 지식층을 작게는 유태인을 박해함에 따라서

하이젠베르크도 독일을 탈출하는 학자들과 합류

하고 싶은 유혹도 받았으나 독일 국가에 대한 애착심 때문에

독일에 그대로 남아있었다.

쉬뢰딩거 방정식과 물질파

쉬뢰딩거 방정식 유추

가장 기본적인 파동함수

3차원 슈뢰딩거 방정식

3차원으로 확장

파동함수

파동함수의 성질

기대값(Expectation valves)

파동함수가 주는 정보

확률밀도 외에 통계적 관점의 여러 정보를 줌

기대값 (Expectation valves)

기대값

운동량

시간독립 쉬뢰딩거 방정식

일차원 쉬뢰딩거 방정식

고유치 방정식

시간독립 쉬뢰딩거 방정식

에너지 양자화

파동함수 성질

어느 곳에서든 유한한 값, 연속, 일차 미분 연속

제한되어 있는 입자

시간독립 쉬뢰딩거 방정식

에너지 양자화를 내포하고 있음

원자모형의 변천

1897년 톰슨에 의해 전자 존재 확인

초코렛 칩 모형

원자는 양전기를 띤 구형의 물질 덩어리 속에─초코렛 칩 쿠키에 초코렛 칩이 여기 저기 박혀 있는 것처럼─전자가 여기저기 박혀 있는 형태.

러더포드의 모형 (1911)

초코렛 칩의 분포를 알고자 했던 러더포드는 원자에 α입자를 충돌

예상 밖의 실험 결과를 설명하기 위해서 핵과 전자의 모형 제안

수소원자의 파동함수

1s 오비탈

확률밀도

전자의 확률밀도를 나타내는 한 가지 방법은 그림의 명암을 가지고 Ψ^2을 나타내는 것이다.

그러나 궤도함수를 간단히 나타내는데 일반적으로 약 90%의 전자 확률을 포함하는 경계 표면이 이용되고 있다.

2p 오비탈

p궤도함수는 r=0에서 진폭이 영이 된다. 이것은 고전적으로 궤도 각운동량의 원심력이 전자를 핵 주위로부터 떨어쳐내기 때문이라고 생각할 수 있다.

즉 r→0일 때 유효 퍼텐셜 에너지는 무한대로 치솟으며 그리하여 핵의 위치에서 파동함수가 영이 되는 것이다. 이러한 원심력 효과는 l〉0인 모든 궤도함수에서 나타난다. L 〉0인 궤도함수들의 진폭은 핵의 위치에서 영이며, 따라서 핵의 위치에서 전자가 발견될 확률은 영이 된다

3d 오비탈

n=3 일때는 l=0, 1, 또는 2이다.이 다섯 개의 d 궤도함수는 ml=2,1,0,-1,-2의 값을 가지며 이들은 다섯 개의 상이한 z축 주위의 각 운동량을 갖는다 (어느 경우네나 l=2이므로 각운동량의 크기는 모두 같다).

p궤도함수에서와 같이 ml의 값이 상반되는 상태들을 한 쌍씩 결합하면 정상파가 생기는데, 이들의 경계 표면 모양을 그림 에 나타내면 클로버 모양이 얻어진다.

궤도함수 근사법

ψ (r1, r2,…)=ψ(r1)ψ(r2)…

각각의 궤도함수들은 수소꼴 원자 궤도함수와 같다고 생각하는데, 다만 핵 전하량은 이 원자 속의 다른 전자들 때문에 수정을 해서 쓴다.

이 방법은 근사법에 불과하지만 원자의 화학적 성질을 논하는데는 대단히 편리한 개념이며 원자 구조를 보다 더 세밀하게 나타내는 출발점이다.

축조 원리

3d 오비탈 채움

아르곤은 완성된 3s와 3p 부껍질을 가지며 3d 궤도 함수의 에너지가 높기 때문에, 이 원자는 실질적으로 닫힌 껍질 전자 배치를 갖는다.

실제로 4s 궤도 함수는 핵에 가까이 침투할 수 있는 능력에 의해서 에너지가 낮아져서 다음 전자(K에 대해서)는 3d 궤도 함수보다 4s 궤도 함수를 차지한다.

그래서 K 원자(Ar 다음의 원소)는 Na 원자를 닯았다.

[Ar]4s2의 전자 배치를 갖는 Ca 원자에도 같은 논리가 적용된다. 그러나 이 순간 3d 궤도함수는 4s 궤도 함수와 에너지가 비슷해져서 3d 궤도 함수도 채워지기 시작한다.